Blog-note de jef safi

s’ e n t r e - t e n i r

avec . . Cédric Villani
Le temps est assassin… ?

reprise du post du 22/7/2o14 du blog http://cedricvillani.org/

jeudi 25 septembre 2014

Voilà déjà bien longtemps que la douce parenthèse californienne s’est refermée. Rentré en France aux derniers jours de 2013, je n’ai fait depuis que courir en tous sens, occupé à faire avancer une multitude de projets et à répondre aux sollicitations et engagements divers. Durant ce premier semestre 2014, j’ai donc voyagé un peu partout à l’étranger (dans le désordre : Russie, Allemagne, Sénégal, Cameroun, Arabie Saoudite, Émirats Arabes Unis, Algérie, Danemark, Finlande, Belgique, Angleterre, Italie, Espagne, Luxembourg, Chine, Japon, Norvège… je dois en oublier un ou deux, pas grave) ; j’ai été traduit et publié au Japon ; j’ai effectué un nouveau cycle de cours à l’Université de Lyon (rigidité et indéformabilité des géométries non euclidiennes) ; je me suis engagé dans la campagne des élections municipales aux côtés d’Anne Hidalgo ; j’ai repris les affaires de l’Institut Henri Poincaré bien sûr ; j’ai continué mes aventures avec Musaïques et EuropaNova ; j’ai donné quelques exposés dans des cadres improbables (l’inauguration de la Fondation Louis Vuitton, la “Nuit de la Chauve-Souris” à la Fondation Cartier, la science en cocktails à Christiania…) ; j’ai travaillé sur un roman graphique en collaboration avec Edmond Baudoin… Beaucoup à la fois ! il ne faut donc pas s’étonner que ce Blog ait pris un retard abyssal, que je vais m’employer à combler peu à peu, maintenant que l’ouragan est passé. Que de temps à rattraper !

Parlons donc de temps, si vous le voulez bien. Deux des spectacles auxquels j’ai eu l’occasion d’assister en 2014 avaient un rapport intime avec cette notion.


Le premier est le grand opéra de Philip Glass, Einstein on the Beach, avec ses 4h30 bien sonnées. J’ai découvert Glass avec l’extraordinaire (le mot n’est pas trop fort) trilogie Qatsi, une série de films expérimentaux qu’il a réalisée avec Godfrey Reggio, et qui a fait l’objet de deux projections somptueuses à Lyon il y a quelques années. On m’avait vanté son Einstein comme son chef d’oeuvre… pourtant mes tentatives d’écouter cet opéra s’étaient soldées par des échecs, et j’avais reculé devant la répétition fastidieuse des notes et motifs musicaux. En m’installant dans le fauteuil du Théâtre du Châtelet pour écouter l’oeuvre vivante, j’avais donc une certaine appréhension, me demandant si je pourrais garder mes sens en éveil pendant toute la durée du spectacle.

Pourtant quelques heures plus tard, j’étais conquis et radieux. Dans cet opéra mis en scène par Bob Wilson, l’image, le jeu des acteurs transforme radicalement la perception de la musique et du temps. Parfois tout est en mouvement mais rien ne change ; parfois au contraire on a l’impression que les personnages sont immobiles, et l’on se rend compte soudain qu’ils ont bougé. Et avec la musique c’est pareil ! Et les deux combinés donnent lieu à une alchimie toute particulière… Visiblement (c’est le cas de le dire) la sensation de l’oeuvre est liée non seulement à la musique, mais aussi au regard du spectateur, un peu perdu devant la multitude de détails, ne sachant que fixer, étonné ici et là de découvrir une évolution dans le fixe. L’expérience est incomparable — avis aux amateurs ! Si vous ne l’avez pas vu, saisissez la première occasion qui se présentera, ce spectacle n’est que rarement monté…


Le second événement était un spectacle de Gauthier Fourcade, héritier spirituel de Raymond Devos, tout en jeux de mots et d’esprits.

Pour l’anecdote, Gauthier est entré en contact avec moi après avoir lu Théorème vivant ; au-delà de la quête “mathématique”, il était tout heureux de rencontrer un admirateur de Odessey & Oracle, le chef d’oeuvre, quelque peu oublié de nos jours, des Zombies (Beechwood Park, Brief Candles, Hung Up on a Dream, The Butcher’s Tale…) Gauthier m’avait alors invité à son spectacle Le bonheur est à l’intérieur de l’extérieur de l’intérieur de l’extérieur, ou l’inverse ; j’avais immédiatement été emballé par son talent à jongler avec les mots et les concepts. Je l’ai ensuite retrouvé avec joie dans son grand succès, Le secret du Temps Plié. Au cours de ce long monologue absurde-poétique, l’auteur s’interroge sur la nature du temps qui passe… Sans aucune prétention de sérieux, le texte se présente comme une démonstration logique, jouant sur les polysémies et les associations d’idées ; c’est également une belle mise en scène de recherche intellectuelle. Après avoir longtemps joué ce spectacle à Paris, Gauthier le présente en ce moment au Festival d’Avignon : Télérama a classé ce spectacle en tête de son palmarès du “Festival Off” ! Si vous passez à Avignon dans les jours qui viennent, et ne connaissez pas Gauthier Fourcade, précipitez-vous, vous avez jusqu’à la fin de la semaine pour combler cette lacune .


Le temps ! Coïncidence, il y a quelques semaines, Jean-Pierre Cléro, dans une magnifique recension de mon Théorème vivant, parue dans la revue Essaim, insistait sur l’importance que prend ce concept dans mon ouvrage. Petit extrait : “Le temps est sans doute le maître mot de l’ouvrage de Villani. Il est constamment question, dans le mouvement hélicoïdal et et haletant que suit le livre, du temps qui reste pour élaborer le théorème, le démontrer, le réélaborer, le redémontrer, en décrivant des boucles qui paraissent interminables, dont on ne sait même pas quinze jours avant l’échéance si elles auront une fin et qui doivent pourtant avoir une fin ; du temps qu’il faut pour résoudre une question et sur le compte duquel on se trompe toujours. Le temps de l’angoisse d’une démonstration qui dure un an (…) Mais le temps n’est pas seulement celui des pulsations de la recherche ; il est aussi, presque indistinctement, celui du sujet même de cette recherche.”

Je saisirai cette perche pour évoquer une question que l’on pose souvent en physique statistique, et qui est effectivement au coeur de certains de mes travaux. Il s’agit du rapport entre l’équation de Boltzmann, l’un de mes sujets de prédilection, et la flèche du temps — une sensation que l’on ne connaît que trop bien ! Le problème théorique de l’irréversibilité du temps a fait couler des fleuves d’encre depuis la Révolution Statistique menée par les physiciens James Clerk Maxwell et Ludwig Boltzmann dans la décennie 1865-1875.

       

L’irréversibilité et la flèche du temps sont deux concepts intimement liés. (Comme le dit Gauthier Fourcade, ce que fait le temps avec sa flèche, comme tout archer, c’est “tirer vers cible” — ahah.) Au-delà de ce rappel, c’est un vrai souci que d’expliquer cette flèche du temps. Les lois classiques de la physique sont fondamentalement réversibles, puisque les équations de Newton n’indiquent aucune flèche du temps ! Si l’on peut pousser une balle dans un sens, on peut la ramener au point de départ en poussant dans le sens opposé… Pourtant, notre expérience nous indique que la mécanique de Newton, quand on l’applique à des foules d’objets microscopiques comme les fluides, se révèle irréversible : si l’on mélange de l’eau et du vin, impossible de les démêler par des moyens mécaniques…


L’idée, désormais classique, qui se dégage des réflexions de Maxwell et Boltzmann, est que l’irréversibilité se manifeste à notre échelle à cause de la gigantesque différence d’échelles entre le monde microscopique et le monde macroscopique (nous sommes des êtres macroscopiques dans un monde fait d’éléments microscopiques). À cause aussi de ce que l’Univers a dû commencer dans un état extrêmement ordonné… Développons l’exemple sur un système très simple, et déjà très riche : un gaz se répandant dans un récipient. Ce gaz est constitué d’une quantité considérable de molécules, que l’on va supposer égales pour simplifier. Et tant que nous y sommes, simplifions encore en accordant aux molécules une forme géométrique très simple, comme de petites boules (on parle du modèle des sphères dures). Ces petites boules sont animées d’une énergie considérable et entrent sans cesse les unes en collision avec les autres, selon des équations réversibles… Au début de l’expérience, confinons ce gaz avec une paroi, que nous retirons ensuite brutalement, de sorte que les particules sont libres de visiter l’ensemble du compartiment. Si l’on examine les particules, on voit bien une évolution que l’on peut renverser ; certes, mais comment s’écoule le temps à l’échelle du gaz ?

       


En soi, la différence d’échelles ne devrait rien changer au problème de l’écoulement du temps ; et quelqu’un d’aussi intelligent qu’Henri Poincaré a pu dire qu’il était “peu probable” que l’on parvienne jamais à concilier la réversibilité microscopique avec l’irréversibilité macroscopique. C’est pourtant possible, en s’appuyant sur une idée maîtresse de Boltzmann, la notion de chaos moléculaire, qui veut dire que deux particules quelconques entrant en collision sont “décorrélées”. Pour donner une explication informelle : juste avant de se cogner, deux particules “ne se connaissent pas” ; et si l’on choisit au hasard, dans notre boîte, deux particules qui sont sur le point d’entrer en collision, la vitesse de la première particule ne nous apportera aucune information sur la vitesse de la seconde particule, excepté que les vitesses sont dirigées “en sens contraire”.

Dans la théorie cinétique des gaz, on ne cherche pas à suivre à la trace toutes les molécules, mais seulement leurs propriétés statistiques, les seules qui soient perceptibles à notre échelle. On s’intéresse donc à une fonction de distribution f(t,x,v) du gaz, définie en chaque temps t sur l’espace des positions x et des vitesses v. Il existe divers moyens d’exprimer l’hypothèse de chaos moléculaire à partir de cette fonction de distribution (on parle de structure de produit tensoriel de la distribution jointe dans la variable de vitesse…) ; notons que l’on ne sait toujours pas quel est exactement la notion mathématiquement appropriée pour l’équation de Boltzmann…

Quoi qu’il en soit, la base de toute la théorie de Boltzmann est l’hypothèse de propagation du chaos : si le gaz est préparé dans un état initial chaotique, alors pour des temps ultérieurs (pas trop grands !), le gaz sera encore dans un état chaotique. (Ici une subtilité : pour les temps ultérieurs, les vitesses sont décorrélées avant collision ; pour les temps antérieurs, les vitesses sont au contraire décorrélées après collision. La symétrie par rapport aux deux directions possibles d’écoulement du temps est donc préservée, mais la condition initiale a introduit un “avant” et un “après” qui sont très différents.) Et tout cela doit se produire quand le nombre de particules est gigantesque, et la section efficace totale de l’ordre de 1, ce qui veut dire que chaque particule rencontre en moyenne environ une particule par unité de temps.

La propagation du chaos est difficile à démontrer, mais ses conséquences sont considérables. Elle implique en particulier une propriété forte de déterminisme macroscopique : les statistiques d’un “billard moléculaire” chaotique sont prédictibles. En effet, l’idée de chaos est associée à celle de décorrélation et d’indépendance ; on rejoint donc l’idée fondatrice de la statistique, à savoir que l’on peut prédire les propriétés moyennes d’un grand nombre d’expériences aléatoires indépendantes (si on lance une pièce en l’air un million de fois, et que chaque lancer est effectué indépendamment des autres, on sait que l’on aura en gros 50% de “pile” et 50% de “face” ; mais si on lance la pièce en l’air un million de fois de manière exactement identique, on ne sait pas a priori ce qu’on obtiendra).

Même si l’on parvient un jour à prouver la propagation du chaos, il restera à se demander pourquoi le chaos règnerait au début de l’expérience. Cela demanderait aussi un travail de justification, moins délicat mathématiquement, mais plus exigeant en ce qui concerne le sens physique. Une idée maîtresse est que, si l’on tire une configuration de particules “au hasard”, elle aura toutes les chances d’être quasiment chaotique ; il reste à parier que la préparation d’une condition initiale amènera naturellement à l’une de ces configurations chaotiques. On doit ici faire face à des questions tout à la fois mathématiques, physiques et épistémologiques, qui peuvent renvoyer à la vision que l’on a du monde en général.

Le déterminisme macroscopique a des conséquences profondes : il mène au théorème de Boltzmann, le plus célèbre de toute la physique statistique. Je vais essayer dans le paragraphe suivant, d’en donner un aperçu, mais recommande de sauter ce passage en première lecture.

Imaginez que vous observez un gaz, au moyen d’expériences et de moyens de mesures : c’est donc une statistique que vous mesurez, et elle peut correspondre à quantité de configurations microscopiques différentes (par exemple, il vous est impossible de distinguer entre une certaine configuration, et celle où vous avez échangé les états de deux molécules). En conséquence, chaque état macroscopique (statistique) est associé à une multitude de configurations microscopiques chaotiques différentes. Mais chacune de ces configurations microscopiques va évoluer au cours du temps, se conformant macroscopiquement aux prescriptions de l’équation de Boltzmann. On peut d’ailleurs montrer, par la mécanique classique, que le nombre (ou volume) de ces configurations microscopiques reste constant au cours de l’évolution temporelle. À chaque instant, la quantité de configurations microscopiques compatibles avec l’observation statistique n’est donc jamais moins grande qu’aux instants précédents. Suivant Boltzmann, on peut alors formaliser cela par l’introduction de l’entropie comme une mesure du volume de configurations microscopiques compatibles avec l’observation statistique : cette entropie ne pourra jamais décroître quand le temps s’écoule. En fonction des lois régissant les interactions entre particules, l’entropie pourra soit rester constante, soit augmenter.

Boltzmann montra comment calculer l’entropie (disons, une mesure du désordre) associée à une distribution statistique, et prouva que pour la dynamique d’un gaz, pleine de collisions entre molécules, cette entropie devait augmenter strictement, dans la plupart des configurations. Il s’agissait là d’une révolution conceptuelle, débusquant l’irréversibilité au coeur de la mécanique statistique. Ainsi, dans le cas de l’expérience du gaz qui s’échappe de son compartiment, la tendance sera vers l’état d’entropie maximale, celui qui correspond au plus grand nombre possible de configurations microscopiques : c’est aussi l’état le plus étalé, celui dans lequel le gaz occupe tout le volume du récipient !

       


Boltzmann nous apprend de ce fait que le gaz va irrémédiablement envahir l’espace vide, et que ce phénomène peut s’expliquer par le pur jeu du hasard des collisions, qui force l’entropie à augmenter…

On en vient ainsi à un plan de bataille sophistiqué pour résoudre la difficulté conceptuelle de la flèche du temps : partant d’un système mécanique fait d’un grand nombre de molécules en interaction, initialisé selon des conditions chaotiques, il faut

(1) prouver la propagation du chaos, et en déduire une équation prédisant l’évolution de la distribution statistique des particules — c’est l’équation de Boltzmann ;

(2) montrer que l’équation de Boltzmann est bien posée, c’est à dire qu’elle admet une solution unique et régulière, quand la donnée initiale est elle-même régulière (régulière veut dire bien lisse : une fonction sans à-coups, ni zigzags, ni pointes, ni décrochages, etc.) ;

(3) introduire l’entropie S de Boltzmann, sous forme fonctionnelle (pour les connaisseurs : l’intégrale de – f log f), et montrer qu’elle augmente strictement en-dehors de l’équilibre.

(4) démontrer que l’entropie S croît irrémédiablement avec le temps, ce qui correspond à l’augmentation spontanée du désordre moléculaire sous l’effet des collisions. On a ainsi une flèche du temps !

Ce programme est cohérent et convaincant, mais il n’est pas facile pour autant (vivent les euphémismes).

Le problème 1 est peut-être le problème le plus célèbre de toute la mécanique statistique ; il a été résolu pour des temps petits en 1973 par Oscard Lanford, un artiste de la physique mathématique parmi les plus virtuoses que l’on ait connus, disparu il y a peu. Ce problème reste cependant ouvert quand on étudie de grandes durées, du moins dans le cas d’un gaz confiné (le cas d’un gaz rare dans tout l’espace a été traité par Reinhard Illner et Mario Pulvirenti). Il s’agit d’un défi extraordinaire ! Récemment, un trio de mathématiciens français — Thierry Bodineau, Isabelle Gallagher et Laure Saint-Raymond — a travaillé sur ce problème, dans un régime proche de l’équilibre ; leur bel article réécrit les preuves de Lanford, et démontre comment retrouver à partir de là le mouvement brownien.

Le problème 2 est également célèbre et grand ouvert. Il m’a occupé longtemps, en vain (c’est le problème qui apparaît au tout début de Théorème vivant !), même si j’ai pu, avec mes collaborateurs, obtenir un certain nombre de résultats sur la régularité de l’équation de Boltzmann. Je n’en dirai pas plus pour cette fois…

Le problème 3 en revanche est bien compris, même dans un cadre très général ; de nos jours on le rattache au Théorème de Sanov. J’espère bien d’ailleurs trouver un jour le temps d’écrire un ouvrage pour tous publics sur l’entropie mathématique et ses multiples formes !

Enfin le problème 4 est maintenant bien compris, et j’ai moi-même travaillé sur des variantes quantitatives de ce résultat, en particulier la Conjecture de Cercignani : montrer que la production d’entropie est au moins aussi forte qu’un multiple de la différence entre l’entropie du gaz et sa valeur maximale.

Par ce programme, l’apport conceptuel de Boltzmann va bien au-delà de la mise en équations, qui en soi est déjà une avancée remarquable : Boltzmann nous donne en sus des éléments explicatifs du comportement des fluides, et identifie une action à l’oeuvre dans l’écoulement du temps…

Deux paradoxes célèbres ont été avancés pour contrer le raisonnement de Boltzmann. Le premier est basé sur le théorème de récurrence de Poincaré, qui énonce que le gaz reviendra, un jour où l’autre, tout entier dans la demi-boîte (!)


Bien sûr, ce comportement “récurrent” est incompatible avec le théorème de Boltzmann… La solution de ce paradoxe réside dans le fait que le théorème de récurrence ne s’applique qu’après des temps invraisemblablement longs, bien au-delà des temps physiques sur lesquels la propagation du chaos classique se produit (et bien au-delà des temps qui sont accessibles à l’observation). Le comportement récurrent ne s’observe donc jamais !

Le second paradoxe consiste à renverser les vitesses, en pensée (sans augmentation d’entropie !) pour voir le gaz revenir à son état initial… S’il est revenu à son état initial, c’est bien que le désordre n’a pas augmenté, et cela semble encore contredire Boltzmann. Ce paradoxe ci se résout en se rappelant que l’équation de Boltzmann a besoin, pour être établie, d’un état initial chaotique ; or si l’on considère le gaz en un temps strictement positif, il est “chaotique précollisionnel” (les vitesses juste avant le choc sont décorrélées) mais pas “chaotique postcollisionnel” (les vitesses juste après le choc ne sont pas décorrélées). Quand on renverse les vitesses, il faut donc changer l’équation ! La nouvelle équation, à la configuration initiale, est parfois dite “anti-Boltzmann” ; elle comporte un signe – devant le membre de droite, et elle fait diminuer l’entropie.

Si la discussion précédente vous a paru ardue, n’ayez pas d’inquiétude : elle a fait blanchir les cheveux de plus d’un spécialiste, depuis le temps où les Boltzmann, Zermelo ou Poincaré se jetaient des arguments contradictoires à la tête… Maintenant, du temps a passé (eh oui), et l’on s’accorde sur la validité du raisonnement de Boltzmann comme étant essentielle à la compréhension du “temps”. Pour en savoir plus, si l’on ne craint pas les équations, on pourra consulter ma contribution dans le volume du Séminaire Poincaré (dit Séminaire Bourbaphy) consacré au passionnant phénomène du temps.


À ce stade je dois avouer que la théorie statistique n’est qu’une des facettes du temps en physique moderne. En effet, la révolution relativiste et la révolution quantique ont également apporté chacune leur nouvelle conception du temps : en relativité, c’est une dimension que l’on ne peut démêler des dimensions spatiales, au point que l’on ne peut plus donner un sens à l’expression “en même temps” ; en mécanique quantique, l’écoulement du temps vient avec la réalisation continuelle d’événements plus ou moins probables ; le statut du temps est donc lié à celui de l’aléatoire en mécanique quantique, qui n’a jamais été clairement élucidé. Le monde est décidément plein de mystères !

Un dernier problème conceptuel pour la route. À notre échelle, nous pouvons faire l’économie du problème relativiste, mais pas celui du problème quantique : dans la “vraie vie”, autour de nous les variations quantiques des positions des molécules, amplifiées par le chaos, causent des variations spectaculaires dans les trajectoires des molécules après seulement quelques rebonds. Cependant on peut argumenter que l’incertitude quantique vient aider à restaurer la nature chaotique de notre grand billard, et finalement préserve la validité de l’équation de Boltzmann ; en somme, que les points de vue quantique et statistique sur le temps se renforcent. Quant à le démontrer… avis aux amateurs.

Et voilà ! Nous sommes arrivés, peu à peu, au terme d’un billet parmi les plus longs et les plus obscurs de ce Blog… en espérant pourtant ne pas avoir trop abusé de votre temps.

( photo (c) Vincent Moncorgé )