Blog-note de jef safi

p h i l o s o p h e r

avec . . Cédric Villani
Des particules, des étoiles et des probabilités.
L’équation de Boltzmann

UTLS - Canal U - La vidéothèque numérique de l’enseignement supérieur

dimanche 14 octobre 2012

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38:00

Revenons à Boltzmann. Un des ses hauts faits de gloire, et une des raisons majeures pour laquelle on parle encore de lui avec des larmes dans la voix, c’est qu’il a découvert cette notion, l’entropie. Ça existait avant Boltzmann, mais il lui a donné un tout autre éclairage. Il a repris ce concept qui était né en thermodynamique, et il lui a donné un sens qui est à la fois simple, profond et universel. Un sens mathématique, qui a été repris par les physiciens et par les mathématiciens.

S = k log W

La description statistique est moins précise que la description complète, elle laisse un nombre considérable de possibilités W (ndlr :dénombrées mais non décrites, non énumérées) ... mais quelle est la perte d’information ? Et bien ça dépend de la statistique. Illustrons ..

Voilà 1000 électeurs convoqués pour choisir entre un candidat A et un candidat B. Si vous êtes dans un régime dictatorial, qu’on vous braque une mitraillette sur la tête au moment du vote, alors 100% des votants votent A. Dans ce cas la donnée de la statistique ne perd rien, on sait que chacun des votants a voté pour A. Si en revanche il y a un peu de dissension, et que 1 électeur a voté B, la statistique dit que 0,1% de 1000 à voté B et 99,9% a voté A. Pour trouver cette personne, ça fait 1000 possibilités. On vient de passer de 1 à 1000 possibilités. Si maintenant 0,2% votent B et 99,8% votent A, ça veut dire que 2 personnes ont bravé la mitraillette. Pour trouver lesquelles, 2 personnes parmi 1000, un petit exercice de combinatoire, c’est (1000x999)/2, bon c’est 1000000 de possibilités, un nombre à 6 chiffres. On vient de passer de 1, à 1.000 et maintenant à 1.000.000 en faisant varier linéairement les probabilités.

Si on continue comme ça, on verra que ce qui donne le plus de possibilités c’est la distribution 50%/50%. C’est elle qui est associée à la plus grande incertitude pour dire qui a voté pour qui.

Boltzmann part de ça. Quand on est dans cette situation, on dénombre les configurations possibles (sans les énumérer), où si c’est un espace continu on en prend le volume, et on appelle ça W. C’est ce qui reste à connaître, et on en prend son logarithme parce que W est un nombre généralement gigantesque. ... Pour mémoire en gros, le logarithme d’un nombre c’est son nombre de zéros. Le log de 1 c’est 0, de 1.000 c’est 3, le log de 1.000.000 c’est 6, etc. Boltzmann pose ainsi que :

S = k log W

Ça c’est une formule magique, qui régit notre monde peut-être encore de manière plus sensible, on en fait l’expérience quotidiennement, que E=Mc2, ou ce genre de chose.

La formule s’applique chaque fois qu’il y a une information cachée. Par exemple, nous sommes des êtres macroscopiques, et on a jamais accès à l’information microscopique du monde qui nous entoure. Il y a sans arrêt de l’incertitude. Sans arrêt de l’entropie cachée derrière chacune de nos mesures, derrière chacun de nos actes.

S = k log W c’est pas très parlant comme formule, pas très commode, comment je calcule W ? C’est là que Boltzmann nous aide encore énormément. Faisons un petit exercice de combinatoire. ... Donnons-nous des fréquences rationnelles, des p/q : f1, f2, . . fk, etc., pour partager un tout. Pensez-y comme à des pourcentages d’un sondage par exemple (f1+f2+. . fk=100%). Et puis posez vous la question : combien y a-t-il de façons de ranger N particules, avec N très très grand, dans k boîtes en respectant ces fréquences. Pour que la proportion de particules dans la boîte 1 soit f1, que la proportion de particules dans la boîte 2 soit f2, et ainsi de suite.

La réponse c’est que quand N est très grand, il y a environ exp( - N Σ fi log fi ). C’est un nombre qui croît exponentiellement vite avec N, et avec une expression très simple des fréquences. Après on trouve une généralisation un peu plus savante, mais qui est la même chose et qui s’appelle la fonctionnelle H de Boltzmann (1872) : une intégrale qui somme sur toutes les positions et les vitesses possibles le produit f(x,v) log f(x,v)f est la distribution de position et de vitesse du gaz. ... On peut ainsi estimer l’incertitude qui est contenue dans une distribution statistique.

C’est un concept mathématique et Boltzmann comprend qu’avec ce concept il peut retrouver les lois et les concepts de la thermodynamique, en particulier la fameuse seconde loi de la thermodynamique.

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